Exercice 4.1

Comparaison numérique d'une solution en serie et d'une solution exacte

C. Delaere

Les moments multipolaires sont ici calculés presque entièrement par Mathematica, nous n'avons pas besoin des propriétés des legendres comme lors du calcul complet.
	Dans le plan xy, le développement multipolaire prend la forme simple présentée, et la solution exacte est facilement calculable.

ql0[l_] := 
      q ((((+a))^l) SphericalHarmonicY[l, 0, 0, 0] + 
            (((-a))^l) SphericalHarmonicY[l, 0, π, 0])phi[r_, m_] := 
      (∑_(l = 1)^m)
          (( 4 π ql0[l] 
            SphericalHarmonicY[l, 0, (π/2), 0])/((2 l + 1) 
            (r^(l + 1))))exactsol[r_] := 2 q ((1/(Sqrt[(a^2) + (r^2)])) - (1/r))

En fixant la charge et les dimensions du système, nous pouvons comparer ces deux solution, à un ordre fixé (ici 3).

q = 10; a = 1; Plot[{phi[r, 3], exactsol[r]}, {r, a, 10 a}]

L'erreur relative est de 70% a proximité du système, et décroit rapidement.

Plot[((phi[r, 3] - exactsol[r])/exactsol)[r], {r, a, 10 a}]

A un ordre plus élevé (essayez!) l'accord sera meilleur.